★ FEATURED ARTICLE 简介针对2025年MathorCup B题“老城街区‘平移置换’搬迁规划”这份获奖论文给出了完整的数学建模与求解路径。内容以PDF文件呈现全库共1个文件、约1.63MB作者将参赛作品与附录代码整理在一起便于直接阅读和复盘目前已有153人学习下载。适合参赛学生、城市规划研究者及政府相关工作人员参考。论文基于熵权法-TOPSIS组合模型量化居民搬迁意愿进而构建整数线性规划模型实现院落腾空优化再用贪心算法判断性价比拐点并引入多目标动态规划框架统筹成本与收益覆盖从指标标准化、权重计算到模型求解和结果验证的关键步骤。除方法论外附录代码和详细场景约束也能帮助读者迁移到类似旧城改造或资源置换问题中具有较好的竞赛借鉴和实际应用价值。1. 2025年mathorcup B题“平移置换”在考什么先想通两个反直觉结论2025年mathorcup B题把“老城街区平移置换搬迁规划”推到了建模赛场核心词就一个——平移置换。它要求你把散落在老城街区的待搬迁建筑尽量成组地挪到目标地块同时让腾出来的空间连成可用的片区。这里先说两个反直觉结论第一把每栋楼都送进最近的地块结果大概率不理想因为腾退区会碎成一地第二真正的拉分点不在算法多复杂而在“联结体”怎么切、多目标权衡怎么取舍。贴这个题的队伍无非三类第一次冲奖、对组合优化不熟想快速落地以及拿获奖方案框架做基线复现的读者。2. 把搬迁题意翻译成数学模型联结体、置换单元与代价函数2.1 三个实体联结体、置换单元、目标地块题目里“平移置换”四个字不是随便写的。平移意味着一个建筑组必须整体平移不能拆开迁置换意味着A地块清空后给新用途A地块上的建筑群整体搬到B地块B地块若也有建筑则B地块的建筑再搬到C地块形成置换链。如果直接把“每一栋建筑都独立找目标”当成匹配问题做就丢失了“成片腾退”这个核心诉求。我一般会把数据预处理拆成三步。第一步把待搬迁建筑按空间距离聚成联结体。常见做法是设置一个距离阈值经验上取相邻建筑间距的P50到P80分位距离小于阈值的建筑归为一组。聚完以后一个联结体就是未来要整体平移的最小单元。第二步把每个联结体当做一个置换单元。置换单元的属性包括总建筑面积、单元质心坐标、成员建筑数量、内部连通性。置换单元不能被拆分这是建模时的一条铁约束。第三步把目标地块的属性做成同一口径可接收建筑面积、质心坐标、是否允许链式二次置换。目标地块的容量要按“可接收建筑面积”算不要按占地面积算否则多层建筑会让容量直接失真。判定代码可以这样写用并查集把距离阈值内的建筑连起来import numpy as np def find_clusters(coords, dist_threshold30.0): coords: (n, 2) 的建筑坐标 返回: 每个建筑所属的联结体编号, 联结体数量 n len(coords) parent list(range(n)) def find(x): while parent[x] ! x: parent[x] parent[parent[x]] x parent[x] return x def union(a, b): ra, rb find(a), find(b) if ra ! rb: parent[rb] ra for i in range(n): for j in range(i 1, n): if np.linalg.norm(coords[i] - coords[j]) dist_threshold: union(i, j) clusters {} for i in range(n): root find(i) clusters.setdefault(root, []).append(i) cluster_ids np.zeros(n, dtypeint) for cid, members in enumerate(clusters.values()): for idx in members: cluster_ids[idx] cid return cluster_ids, len(clusters)这个函数的逻辑是对任意两栋建筑如果距离小于阈值就合并到同一个集合最后把集合编号回填到每一栋建筑上。返回的 cluster_ids 编号只用于分组索引本身没有空间含义。两重循环在建筑数量几千时还能接受超过一万就要改用网格分桶加速。阈值建议先用建筑之间最短间距的百分位数标定不要直接写死30米。聚完联结体后后面所有优化都只需要操作联结体不再碰单个建筑这一步能大量压缩变量个数也是后续求解器能跑起来的先决条件。2.2 代价函数与约束怎么设计才不跑偏很多队把目标函数写成“总搬迁距离最小”粗看没毛病细看问题很大。单独最小化加权距离会让所有联结体都优先找最近的目标地块结果往往是一批大联结体挤到同一个地块附近小联结体只能去捡边角料腾退区被割裂成很多小块。评审眼里这就是“方案在数值上最优、在空间上不可用”。我常用的是三层目标函数。第一层是硬指标清空的联结体数量最大化。这里的清空指的是联结体被整体迁走原位置腾出来。第二层是平均平移距离最小化用建筑面积加权因为大联结体对施工和居民影响都更大。第三层是置换链长度惩罚A搬到B、B再搬到C的链式置换每增加一环实际协调成本就上一个台阶所以要在目标函数里给一个递进惩罚。约束方面有三个必写。容量约束目标地块接收的总建筑面积不能超过可接收面积一对一约束一个联结体只能搬入一个目标地块完整性约束联结体内部成员不得被拆分到不同地块。容量约束如果在原始数据下无解不要当成题目错。常见做法是给容量加一个5%的松弛项同时给超容量部分一个高额惩罚。惩罚系数必须比距离项大一到两个数量级否则随机搜索会优先牺牲容量约束来换距离优化最后给出一堆看似漂亮却无法落地的方案。提示如果目标地块总容量不足不要调大容量去硬凑尝试把联结体阈值调小让大联结体拆成容易被多个小地块吸收的中型联结体这更符合“平移置换”的操作逻辑。2.3 为什么不能直接套匈牙利算法如果联结体数量和目标地块数量相等容量完全匹配那这就是标准指派问题匈牙利算法能算全局最优。但赛题数据里联结体数量一般远大于目标地块数量目标地块容量也各不相同匈牙利算法的容量约束难加进去。硬套的结果是大部分联结体抢同一个大地块其他地块空置。另一种常见误用是直接对所有建筑做k-means聚类然后按类别搬迁。这个做法的致命问题是k-means聚类结果不保证成片也不保证腾退区连通本质上是拿连续优化算法解离散组合问题这个误区在每年mathorcup后续方向的参赛论文里都不少见。正确框架是先做联结体识别再做带容量约束的离散分配最后用启发式寻优逼近可行最优。后面的求解脚本会照着这个框架写。3. 用五个指标评价方案优劣搬迁率之外还有四个必看项3.1 五个指标逐个拆解指标计算方式评价什么搬迁率已分配联结体面积 / 全部待搬迁面积总量完成度平均平移距离Σ(联结体面积 × 质心距) / Σ面积搬迁成本与影响范围腾退区最大连通域面积腾退后剩余空间中最大连通块面积成片腾退效果置换链平均长度平均每条链上的搬迁环节数实际推进难度目标地块碎片率分配后剩余不可用碎片面积占比规划可实施性搬迁率回答“做完多少”平均距离回答“代价高不高”连通域面积回答“腾出的地能不能用”链长回答“搬迁能不能落地”碎片率回答“剩余地被切碎后还能不能利用”。这五个指标缺一不可。3.2 权重怎么定熵权法打底再人工干预五个指标量纲不一样必须先归一化。常见做法是把每个指标投影到0到1之间搬迁率越大越好原值直接归一化平均距离越小越好取1减归一化值连通域、碎片率同理。归一化后权重用熵权法从数据里算一遍得到客观权重再人工干预把腾退区连通性的权重往上抬因为这是评审最直观能看出的区位合理性。如果嫌熵权法麻烦直接给一组经验权重也行搬迁率0.25、平均距离0.2、连通域0.25、置换链长0.15、碎片率0.15。重要的是在论文里写清楚权重设定的理由这比权重本身更重要。最终目标值等于权重与指标值加权求和再减掉惩罚项。惩罚项包含容量违约面积、联结体拆分数量、不可实现链长每一项都乘一个比正常目标大一个数量级的系数。3.3 求解器选型多目标、单目标与启发式搜索的分工方案优点缺点适合什么阶段OR-Tools CP-SAT小规模可证全局最优联结体加地块到几百个后内存暴涨验证小规模基线NSGA-III原生多目标一次出Pareto前沿变量几百个时收敛慢解释成本高画多目标前沿图模拟退火实现快、参数直观、可加任意约束不能保证最优主求解器差分进化连续变量表现稳离散组合问题编码麻烦权重寻优的辅助层B题常见的规模是几百个联结体、几十个目标地块。这个规模下我优先推荐模拟退火原因很简单它的邻居生成非常自然把两个联结体的目标地块交换一下就是一次扰动容量约束天然容易满足。用OR-Tools做小规模基线验证用于证明“启发式解离小规模最优解不远”这种组合在获奖论文里很常见也扛得住评委追问。4. 平移置换赛题避坑指南五条让方案翻车的典型问题4.1 目标函数与约束写错导致的静默失败坑1用“总距离最小”当唯一目标结果腾退区碎成一地。现象算法跑出来的搬迁率很高平均距离也小但把腾退地块画在地图上东一块西一块掏出来的地没法连片开发。原因目标函数没有奖励“成片腾退”联结体各自挑最近地块空间形态完全失控。解决目标函数第一层改成“清空的联结体数量最大化”距离指标退居第二层同时把腾退区连通域面积作为硬指标写进评分。改动之后算法会自动优先搬离能让周边连片的联结体腾退区自然成块。坑2硬约束“每个联结体都必须搬”直接导致无解。现象约束一加进去求解器直接报无解或者跑一天出来一个全是惩罚的解。原因目标地块的总容量小于待搬迁总建筑面积数学上本来就不存在完美解。解决把“必须搬”改成“尽量搬”加惩罚。允许一定比例联结体暂不搬迁论文里把这个比例叫做“过渡期保留量”并给出理由——实际操作中确实存在产权未谈妥、建筑价值待评估的建筑暂缓比强搬更合理。未分配惩罚按建筑面积加权面积大的联结体被留下时扣分更重避免算法为了省事丢掉大地块。坑3置换链闭环没有验证。现象A搬到BB搬到CC又搬到A代码里没检查最后输出一个环状置换方案实际调度根本没法执行。原因题目给了“置换”概念但链条数据在预处理时很容易被忽略。解决在代价函数里加链长惩罚项每次生成方案后跑一遍图检测。环长超过3给极大惩罚值或者在扰动生成阶段直接过滤掉非法方案。这一步虽然简单但在D题、B题这类置换类题目里都很容易出现。4.2 数据口径、复现与结果一致性坑4面积口径混用建筑占地和建筑面积傻傻分不清。现象目标地块容量按规划可建建筑面积给联结体面积按占地面积算算出来容量永远够实际上早就超了。原因预处理阶段没有统一口径。老城街区里三层、五层、七层建筑混在一起占地面积完全不能代表要安置的规模。解决统一按建筑面积计算。单栋建筑面积等于占地面积乘以地上层数。如果题给数据里已经给了建筑面积就直接用并在论文里画一张口径说明表。这个细节不大但评委一眼就能看出建模是否严谨。坑5随机种子没固定复现结果和论文数字对不上。现象答辩现场拿代码跑一轮结果和论文里的目标值差了一大截评委追问时支支吾吾。原因模拟退火、差分进化这类启发式算法都依赖随机数不同种子跑出的结果天然有波动。解决固定numpy随机种子在代码注释里写明。更稳妥的做法是跑5个种子论文里给均值加减标准差把最优一次对应的种子写进附录。这样面对评审时能解释“最优解来自第几轮、波动范围是多少”比单次结果可信得多。5. 从数据到结果一个可复现的“联结体识别模拟退火”脚本骨架5.1 数据预处理与联结体识别前置准备把题给的建筑表读成 units.csv至少包含 id、x、y、area、floors 五列目标地块表 targets.csv至少包含 id、x、y、cap_area 四列。坐标统一成平面坐标系如果给的是经纬度要先投影成米制坐标否则距离阈值按米开会直接失效。下面代码假设你已经把上一节的 find_clusters 函数放在同一个文件里。流程是读数据、聚合联结体属性、预计算距离矩阵import pandas as pd import numpy as np units pd.read_csv(units.csv) targets pd.read_csv(targets.csv) coords units[[x, y]].values cluster_ids, n_cluster find_clusters(coords, dist_threshold25.0) # 聚合联结体属性 clusters [] for cid in range(n_cluster): mask cluster_ids cid sub units[mask] clusters.append({ id: cid, x: sub[x].mean(), y: sub[y].mean(), area: sub[area].sum(), floors_max: sub[floors].max(), count: len(sub) }) clusters pd.DataFrame(clusters) # 预计算联结体质心到每个目标地块质心的距离矩阵 dist_mat np.zeros((len(clusters), len(targets))) for i, row in clusters.iterrows(): for j, tj in targets.iterrows(): dist_mat[i, j] np.hypot(row[x] - tj[x], row[y] - tj[y])聚合之后clusters 每一行代表一个最小平移单元area 是建筑面积汇总。距离矩阵预计算好后放内存模拟退火每轮评估只用查表、不重新算。注意 dist_mat 在联结体数量大时会很大2000个联结体乘100个目标地块是20万个数内存没问题但双循环写法在Python里会偏慢实际跑大算例时把双循环换成np.hypot的广播版本。5.2 模拟退火主循环与三组关键参数模拟退火的变量设计assign 数组长度等于联结体数量第 i 个元素表示第 i 个联结体被分到的目标地块编号-1 表示暂缓搬迁。目标函数在 3.2 节的基础上实现成 evaluate 函数def evaluate(assign, dist_mat, clusters, targets, pen_capacity2000.0, pen_unassigned5000.0): cap_used np.zeros(len(targets)) dist_cost 0.0 unassigned_cost 0.0 for i in range(len(clusters)): t assign[i] if t 0: # 未分配的联结体按面积扣分面积越大越不能丢 unassigned_cost pen_unassigned * clusters.loc[i, area] continue dist_cost dist_mat[i, t] * clusters.loc[i, area] cap_used[t] clusters.loc[i, area] # 容量违约惩罚超一平米罚 2000量级远大于距离项 over np.maximum(0, cap_used - targets[cap_area].values).sum() return dist_cost pen_capacity * over unassigned_costweight 参数在这里就用不上了因为搬迁率、连通域这些指标是在评价外部做的优化器内部只压距离、容量违约和未分配惩罚。pen_capacity 和 pen_unassigned 两个惩罚系数都要比单平米距离成本大两个数量级否则搜索会优先牺牲约束。模拟退火主循环def solve_sa(dist_mat, clusters, targets, seed42, t0None, alpha0.97, n_iter_per_temp300): rng np.random.default_rng(seed) n_c dist_mat.shape[0] n_t dist_mat.shape[1] # 初解随机把联结体分到目标地块容量约束交给惩罚项处理 assign rng.integers(-1, n_t, sizen_c) cur_cost evaluate(assign, dist_mat, clusters, targets) temp t0 if t0 is not None else cur_cost * 0.3 best_assign, best_cost assign.copy(), cur_cost while temp 1e-3: for _ in range(n_iter_per_temp): new_assign assign.copy() i, j rng.choice(n_c, size2, replaceFalse) # 交换两个联结体的目标地块 new_assign[i], new_assign[j] new_assign[j], new_assign[i] new_cost evaluate(new_assign, dist_mat, clusters, targets) if new_cost cur_cost or rng.random() np.exp((cur_cost - new_cost) / temp): assign, cur_cost new_assign, new_cost if cur_cost best_cost: best_assign, best_cost assign.copy(), cur_cost temp * alpha return best_assign, best_cost交换扰动比分点修改更推荐因为交换不改变每个联结体“有没有分到地块”的状态容量超限的惩罚变化平缓接受率更高。三组关键参数按经验给初始温度取初始目标值的0.2到0.5倍太小退火会变爬山降温系数在0.95到0.98之间降到1e-3停机每温度迭代次数取联结体数量的5到10倍不要低于这个量级。跑完以后把结果合并回去输出搬迁去向# 输出每栋建筑的搬迁去向 solution units[[id, x, y, area]].copy() solution[cluster_id] cluster_ids solution[target_id] -1 for cid, t in enumerate(best_assign): if t 0: mask solution[cluster_id] cid solution.loc[mask, target_id] t solution.to_csv(solution.csv, indexFalse)提示答辩前一定固定随机种子并把它写进论文实验环境那一节。我习惯把最优种子记录在附录的复现说明里防止换台机器跑结果对不上。5.3 结果合理性检查不看分数先看空间形态代码跑完不要急着写“目标函数收敛到多少”。先筛出 target_id 有值的建筑画一张散点图目标地块画成多边形看搬迁建筑是否集中在少数几个方向。第二个检查是算容量利用率cap_used np.zeros(len(targets)) for i, t in enumerate(best_assign): if t 0: cap_used[t] clusters.loc[i, area] print(目标地块容量利用率, cap_used / targets[cap_area].values)如果某个大地块利用率低于40%说明评估函数被距离项压过惩罚项把 pen_capacity 从2000提到5000再跑。第三个检查是腾退区连通性把清空建筑的位置标成0、保留建筑标成1用scipy.ndimage.label数最大连通域占比。占比低于60%说明空间碎了回 5.1 把联结体距离阈值调大10%重新聚一次再跑。这三个检查加起来不到十行代码但能拦住绝大部分讲不出理由的方案。6. 获奖视角的收尾灵敏度分析、可复现性与答辩材料6.1 评审眼里的“好方案”长什么样直接说结论获奖方案不是目标值最低的方案而是评审在有限时间里能看懂、能复核、挑不出逻辑断点的方案。因此论文里的每个约束都要有一条“为什么这么设”的区位解释每个参数都要能回答“改了会怎样”。联结体的聚合半径尤其值得做一组灵敏度分析取阈值上下浮动10%、20%分别重跑一遍求解把搬迁率、连通域占比列成一张表。下表是我跑基准数据时的典型形态数字换了但呈现规律值得参考参数扰动搬迁率平均距离(m)连通域占比阈值-20%87.3%34258%阈值-10%90.1%33164%基准阈值92.5%31872%阈值10%91.8%32669%阈值20%89.6%33963%这张表比任何一句“算法稳定”都有说服力因为它直接展示了阈值对结果的影响方向阈值过小联结体碎连通域占比掉下去阈值过大联结体面积超容量搬迁率掉下来。6.2 答辩前必做的三个验证第一收敛曲线。把模拟退火每一温度下的最优目标值画成折线确认曲线单调下降并在末尾走平。这条曲线放正文或附录能证明求解过程没有提前终止。第二多种子对比。固定种子跑五个不同种子把目标值记为均值加减波动范围证明方案不依赖某一次随机运气。第三基线对比。用小规模数据把OR-Tools跑出全局最优和模拟退火解做相对偏差分析。偏差在5%以内就能在论文里写“启发式算法解与全局最优偏差在可接受范围”。我自己每次交赛前都会做一件看起来很笨的事把代码从命令行原封不动重跑一遍只改数据文件路径确认输出结果和论文附表完全一致。这一步能拦住绝大多数答辩翻车。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取
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