【抽象代数概念速查】generator 生成元

设有一个群GGG以及GGG的一个子集SSS。包含集合SSS中所有元素的最小子群叫做由SSS生成的子群记作⟨S⟩\langle S \rangle⟨S⟩。如果SSS生成的子群是GGG本身则称SSS中的元素为GGG的生成元。如果可以找到一个单元素集合使得这个集合生成GGG则称GGG为循环群。可以找到一个有限集合使得这个集合生成GGG则称GGG为有限生成群。直观例子整数加法群(Z,)(\mathbb{Z}, )(Z,)它是循环群Z⟨1⟩⟨−1⟩\mathbb{Z} \langle 1 \rangle \langle -1 \rangleZ⟨1⟩⟨−1⟩。对称群S3S_3S3​3个元素的置换群阶数为6它不是循环群。S3⟨(1 2),(1 2 3)⟩\mathbb{S}_{3} \langle (1\ 2), (1\ 2\ 3) \rangleS3​⟨(12),(123)⟩。换句话说生成元集就是构建整个代数结构所需的“最少原材料/基石”。