★ FEATURED ARTICLE 学到第十章“具有度量的线性空间”第4小节大部分人的第一反应是前面学欧氏空间好歹还能靠几何直觉撑着怎么一碰到酉空间连内积的符号都变得怪怪的单位化要取模二次型要取共轭矩阵转置全部变成共轭转置周围的同学一个比一个沉默。这个感觉太真实了。我当初学这一段时也有类似的困惑但后来教了几轮高等代数之后发现酉空间、酉变换、埃尔米特变换、正规变换这一串概念其实有一条非常清晰的逻辑线它们分别回答“复空间里怎么度量”“什么变换保度量”“什么变换的矩阵对称性最好”“什么变换能对角化”这四个问题。这一节内容适合正在啃高等代数的本科生、准备考研数学的复习者以及工作中需要用到矩阵分解的理工科朋友——尤其是后面学泛函、量子力学、信号处理的人这一节打不牢后面看 Hermite 矩阵、谱定理、奇异值分解都会一头雾水。1. 从欧氏空间到酉空间为什么要换个数域1.1 一个绕不开的事实实数特征值不够用了欧氏空间理论在实数域上非常漂亮可以把向量看成带箭头的几何对象定义长度、夹角、正交然后研究保持这些结构不变的线性变换——正交变换。但实数域有一个致命的短板矩阵的特征值可以是复数而且经常是复数。还记得最常见的旋转矩阵[ A\begin{pmatrix}0-1\10\end{pmatrix} ]吧它作为实矩阵特征多项式是 (\lambda^210)在实数域里没有根。但你心里清楚它描述的是平面上旋转90°怎么看都该有“特征方向”才对。这个问题的本质是复数的代数封闭性——在复数域上任何多项式都有根任何一个复矩阵都至少有一个特征向量。这是后续所有关于对角化、谱分解的底层支撑。所以为了把“特征值总是存在”这个好性质用起来就必须从实内积空间切换到复内积空间。于是有了酉空间。1.2 酉空间的定义与内积的公理所谓酉空间就是复数域 (\mathbb{C}) 上的线性空间 (V)配上了一个内积 (\langle\cdot,\cdot\rangle)它满足如下三条公理共轭对称性(\langle x,y\rangle\overline{\langle y,x\rangle})对第一个变元线性(\langle \alpha x\beta y,z\rangle\alpha\langle x,z\rangle\beta\langle y,z\rangle)正定性(\langle x,x\rangle\ge 0)且等号成立当且仅当 (x0)。这里最关键的变化是第一条。实数内积要求“对称”也就是 (\langle x,y\rangle\langle y,x\rangle)复数内积只能要求“共轭对称”顺序一换结果要取共轭。同时正定性迫使 (\langle x,x\rangle) 必须是实数这也是为什么共轭对称是不可缺少的——如果只是普通对称(\langle x,x\rangle) 就可能是复数正定性就无从谈起。一个小提醒不同教材对第二条“对第几个变元线性”的约定不一样。有的教材约定对第一个变元线性有的约定对第二个变元线性。本文统一采用“对第一个变元线性、第二个变元共轭线性”的约定。在做题前第一件事永远是看清教材里的约定否则后面的投影公式、Gram 矩阵的顺序可能整个反过来对不上答案的时候别怀疑是自己算错了先检查约定。我见过太多人死磕一道题最后发现自己用的内积顺序和教材相反。在具体的 (\mathbb{C}^n) 上标准内积一般写成[ \langle (x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n)\ranglex_1\overline{y_1}x_2\overline{y_2}\cdotsx_n\overline{y_n}. ]注意第二个向量的每个分量都取共轭。2. 酉空间的基础几何长度、正交、标准正交基2.1 长度、距离与正交的定义有了内积之后长度范数的定义和欧氏空间完全一样[ |x|\sqrt{\langle x,x\rangle}. ]由于正定性根号里面是正实数所以范数是良定义的。由范数再诱导距离 (d(x,y)|x-y|)这是度量空间意义上的距离满足三角不等式。但有一点非常容易混淆在欧氏空间里夹角公式是[ \cos\theta\frac{\langle x,y\rangle}{|x||y|}, ]在酉空间里不能直接照抄。因为 (\langle x,y\rangle) 可能是复数除以实数后还是复数夹角的余弦不可能是复数。所以在酉空间里一般只说“正交”不说“夹角”。两个向量正交的定义仍然是[ \langle x,y\rangle0, ]这刚好是夹角公式里内积为0的情形。如果非要定义一种“夹角”通常取模之后用[ \cos\theta\frac{|\langle x,y\rangle|}{|x||y|} ]来刻画“靠得多近”但这个角度并不具备欧氏空间那种直观的几何意义更多是在算子理论和数值分析里出现。2.2 柯西-施瓦茨不等式酉空间里的核心工具尽管内积变成了共轭线性柯西-施瓦茨不等式依然成立[ |\langle x,y\rangle|\le |x|\cdot|y|, ]等号成立当且仅当 (x,y) 线性相关。它的证明思路和实数情形一样都是考虑带参数的内积正定性把[ \left\langle x-\frac{\langle x,y\rangle}{|y|^2}y,;x-\frac{\langle x,y\rangle}{|y|^2}y\right\rangle\ge 0 ]展开。实数情形这个参数取 (-t) 就行复数情形要记得分母里 (\langle y,y\rangle) 是实数而分子里那个系数取共轭的位置要按约定写对。算到最后左边等于[ |x|^2-\frac{|\langle x,y\rangle|^2}{|y|^2}, ]整理出来就是柯西-施瓦茨不等式。这个不等式在酉空间里是后面一切“度量性质”的基石。有了它才能不证自明地推出三角不等式 (|xy|\le|x||y|)也才能在讨论算子范数、特征值估计的时候放心使用。2.3 复数域上的 Gram-Schmidt 正交化一个完整算例Gram-Schmidt 正交化在酉空间里的操作步骤和欧氏空间完全一致只是每步的内积都要注意共轭位置。若 (u_1,\dots,u_k) 是已经正交化出来的向量组对下一个向量 (v_k)做[ u_kv_k-\sum_{jk}\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}u_j. ]因为 (\langle u_j,u_j\rangle) 是正实数所以系数 (\langle v_k,u_j\rangle/\langle u_j,u_j\rangle) 是一个复数。这一步的几何含义是把 (v_k) 在已生成的各正交方向上的投影全部减掉剩下的部分就与所有 (u_j) 正交。很多同学在实数域操作很熟一到复数就出错问题几乎都出在内积顺序上。下面用一个完整例子演示。在 (\mathbb{C}^2) 中按标准内积对第一个变元线性给定两个向量[ v_1(1\mathrm{i},;\mathrm{i}),\qquad v_2(\mathrm{i},;2). ]第一步取 (u_1v_1)算出范数[ |u_1|^2(1\mathrm{i})(1-\mathrm{i})\mathrm{i}\cdot(-\mathrm{i})1113. ]所以第一个标准正交基向量是[ e_1\frac{1}{\sqrt3}(1\mathrm{i},;\mathrm{i}). ]第二步对 (v_2) 投影。先算[ \langle v_2,e_1\rangle \bigl\langle (\mathrm{i},2),;(\tfrac{1\mathrm{i}}{\sqrt3},\tfrac{\mathrm{i}}{\sqrt3})\bigr\rangle \mathrm{i}\cdot\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt3}2\cdot\frac{-\mathrm{i}}{\sqrt3} \frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt3}. ]然后[ u_2v_2-\langle v_2,e_1\rangle e_1. ]两个分量分别算第一分量 [ \mathrm{i}-\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt3}\cdot\frac{1\mathrm{i}}{\sqrt3} \mathrm{i}-\frac{2}{3} \frac{-23\mathrm{i}}{3}. ]第二分量 [ 2-\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt3}\cdot\frac{\mathrm{i}}{\sqrt3} 2-\frac{1\mathrm{i}}{3} \frac{5-\mathrm{i}}{3}. ]于是[ u_2\frac{1}{3}(-23\mathrm{i},;5-\mathrm{i}), ]它的范数平方是[ |u_2|^2\frac{|{-2}3\mathrm{i}|^2|5-\mathrm{i}|^2}{9} \frac{1326}{9} \frac{13}{3}. ]所以第二个标准正交基向量为[ e_2\sqrt{\frac{3}{13}}\cdot\frac{1}{3}(-23\mathrm{i},;5-\mathrm{i}) \frac{1}{\sqrt{39}}(-23\mathrm{i},;5-\mathrm{i}). ]可以顺手验证一下 (\langle e_1,e_2\rangle0)。这种验证在考试里很值得做能及时发现自己内积符号写错的位置。我建议所有复数的正交化题目都至少找一个向量检查一遍“新向量与旧向量的内积是否为0”这一步只花两分钟却能拦住一大半低级错误。2.4 标准正交基下的坐标与酉矩阵一旦取了一组标准正交基 (e_1,\dots,e_n)任意向量 (x\sum x_i e_i) 的坐标分量就是[ x_i\langle x,e_i\rangle. ]这个结论看起来简单但在复数域上很微妙因为内积对第二个变元共轭线性所以 ((x_1,\dots,x_n)) 这个坐标向量和 (x) 本身的内积关系严格来说要写成[ \left\langle \sum x_i e_i,;\sum y_j e_j\right\rangle \sum_i x_i\overline{y_i}. ]这正是前面那套标准内积公式的由来。接下来看两组标准正交基之间的过渡矩阵。设 ({e_i}) 和 ({f_i}) 都是标准正交基且[ f_j\sum_i u_{ij}e_i, ]即矩阵 (U(u_{ij})) 是将旧基坐标变换为新基坐标的转移矩阵。由于两组基都标准正交可以推出[ U^H UI, ]其中 (U^H) 表示 (U) 的共轭转置即先转置再逐元素取共轭。满足这个条件的矩阵叫酉矩阵。酉矩阵有一个很漂亮的整体性质它相当于复向量空间里的“旋转”——不改变向量的长度也不改变向量之间的内积。从行列式来看由 (\det(U^H)\det(U)|\det U|^21)可知酉矩阵的行列式模长一定是1。但注意行列式的模为1并不等价于是酉矩阵这是两个层次的条件后面判断的时候不要混用。3. 酉变换保持度量结构的线性变换3.1 酉变换的多种等价刻画在酉空间 (V) 上一个线性变换 (T) 如果保持内积也就是对任意 (x,y\in V) 都有[ \langle Tx,Ty\rangle\langle x,y\rangle, ]就称 (T) 为酉变换。这个概念之所以重要是因为它有好几个等价说法做题时哪个方便用哪个。最常见的有(T) 保持内积(T) 保持范数即 (|Tx||x|) 对所有 (x) 成立(T) 把任意一组标准正交基映成标准正交基(T) 在标准正交基下的矩阵 (A) 是酉矩阵即 (A^H AI)(T) 可逆且 (T^{-1}T^)其中 (T^) 是伴随算子。第2条往往会给刚接触的人一个疑问保持长度和保持内积等价吗这里其实是用了复内积的“极化恒等式”。在实数情形极化恒等式是[ \langle x,y\rangle\frac{1}{4}\left(|xy|^2-|x-y|^2\right), ]在复数情形则长这样[ \langle x,y\rangle\frac{1}{4}\left(|xy|^2-|x-y|^2\mathrm{i}|x\mathrm{i}y|^2-\mathrm{i}|x-\mathrm{i}y|^2\right). ]也就是说长度信息事实上包含并完全决定了内积信息。这个等式在复习时值得亲手推一遍理解了它才会明白为什么量子力学里常说“模方决定一切”。3.2 酉变换的特征值一定在单位圆上酉变换有一句很关键的判断口诀特征值的模长都是1。证明非常短设 (Tx\lambda x)其中 (x\neq0)那么[ |Tx|^2|\lambda x|^2|\lambda|^2|x|^2. ]但酉变换保持范数所以左边等于 (|x|^2)。两边的 (|x|^2) 一约得到[ |\lambda|^21, ]也就是 (\lambda\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})落在复平面的单位圆上。这跟实正交变换形成鲜明对比实正交变换在实数域里特征值只能取 (\pm1)如果存在的话但在复数域里看它完全可能有 (\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}) 这样的非实数特征值例如旋转矩阵的特征值就是 (\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\theta})。所以“酉变换的特征值都在单位圆上”比“正交变换特征值只能是 (\pm1)”这个说法范围大得多也更本质。3.3 酉变换一定能酉对角化讲到酉变换绕不开一个重要定理有限维酉空间上的任意酉变换都可以在某组标准正交基下写成对角矩阵而且对角线上的元素都在单位圆上。这个定理的证明思路很舒服。先由复数域代数基本定理保证 (T) 至少有一个特征向量取单位特征向量 (e_1)。令 (W) 为 ({e_1}) 张成的一维子空间注意到酉变换保持内积可以推出正交补 (W^\perp) 也是 (T)-不变子空间。于是把 (T) 限制在 (W^\perp) 上再用归纳法最终就能找出一整个标准正交基使 (T) 在这组基下的矩阵是对角阵。我每次讲到这里都会强调一个细节证明的关键一步是“正交补不变”而这一步恰恰依赖酉变换本身保内积这个特性。如果你在考试里写“因为 (T) 是酉变换所以 (W^\perp) 是 (T)-不变子空间”要把它展开不要一笔带过。展开写法是对任意 (x\in W, y\in W^\perp)有 (\langle x,Ty\rangle\langle T^{-1}x,y\rangle)而 (T^{-1}) 也是酉变换所以 (T^{-1}x\in W)内积为0从而 (Ty\in W^\perp)。这个论证在上课时被反复点名因为它背后正是在反复使用“酉变换等价于可逆且逆等于伴随”这条性质。4. 埃尔米特变换与埃尔米特矩阵4.1 什么是埃尔米特变换在欧氏空间里保持内积不变的是正交变换而满足“对称性” (\langle Tx,y\rangle\langle x,Ty\rangle) 的是对称变换。到了酉空间这个对称性的正确推广就是埃尔米特变换[ \langle Tx,y\rangle\langle x,Ty\rangle,\quad \forall,x,y\in V. ]在标准正交基下写出来设 (T) 的矩阵为 (A)则上述条件等价于[ A^HA, ]即矩阵的共轭转置等于自身这样的矩阵称为埃尔米特矩阵也称 Hermite 矩阵。具体到每个元素就是[ A_{ij}\overline{A_{ji}}. ]对角线上的元素因为要求等于自身的共轭所以必须都是实数非对角线则成对共轭出现。例如[ A\begin{pmatrix} 2 \mathrm{i}\ -\mathrm{i} 3 \end{pmatrix} ]就是一个典型的埃尔米特矩阵因为取共轭转置后还是它自己。有个非常实用的判断法实数域里的对称矩阵看成复矩阵时自动就是埃尔米特矩阵实数域里的反对称矩阵看成复矩阵时满足 (A^H-A)叫反埃尔米特矩阵。所以埃尔米特矩阵本质上就是“对称矩阵的复数版本”。4.2 特征值全是实数特征向量可以全部正交埃尔米特变换最重要的性质就是特征值一定全是实数。证明过程不超过四行。设 (Tx\lambda x)则[ \lambda\langle x,x\rangle\langle Tx,x\rangle\langle x,Tx\rangle \overline{\lambda}\langle x,x\rangle. ]因为 (\langle x,x\rangle0)两边一约就得到 (\lambda\overline{\lambda})所以 (\lambda\in\mathbb{R})。这个结论的直接后果是埃尔米特矩阵的特征值按大小排序是有意义的于是引申出正定、半正定、特征值估计、瑞利商等一系列在实对称矩阵那里熟悉的理论。学量子力学的时候观察量对应的算符要求是埃尔米特的正是因为它的特征值必须是实数测量结果才能是实数。再看特征向量。对埃尔米特变换属于不同特征值的特征向量不仅线性无关而且彼此正交。设 (Tx_1\lambda_1 x_1)(Tx_2\lambda_2 x_2)且 (\lambda_1\neq\lambda_2)那么[ \lambda_1\langle x_1,x_2\rangle \langle Tx_1,x_2\rangle \langle x_1,Tx_2\rangle \lambda_2\langle x_1,x_2\rangle. ]因为 (\lambda_1\neq\lambda_2)所以必然 (\langle x_1,x_2\rangle0)。注意倒数第三个等式用到了埃尔米特变换的对称性定义如果 (T) 不是埃尔米特的这一步是完全推不动的。4.3 埃尔米特型复数域上的二次型实二次型大家都很熟形如[ \sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j,\quad a_{ij}a_{ji}. ]但在复数域上二次型不能直接写成 (x^T A x)因为就算 (A) 是埃尔米特矩阵直接展开 (x^T A x) 也未必是实数。那复数的“二次型”该怎么定义正确的定义是埃尔米特型[ \phi(x)\langle Ax,x\ranglex^H A x. ]展开来看如果 (x(x_1,\dots,x_n))则[ x^H A x\sum_{i,j}a_{ij}\overline{x_i}x_j ]具体每一项的写法取决于内积约定关键是每个坐标分量必须一个取共轭。这样做的好处有两个第一由于 (A) 是埃尔米特矩阵(\phi(x)) 对所有 (x) 都是实数第二它可以自然地讨论正定 (\phi(x)0)、半正定 (\phi(x)\ge0) 这些概念。一个常见的考题是给定一个三阶埃尔米特矩阵判断它是否正定。这时候用的判据和实对称矩阵一样可以从顺序主子式判断也可以直接算特征值是否全部为正。由于埃尔米特矩阵特征值是实数“是否正定”等价于“所有特征值是否大于0”。4.4 Gram 矩阵埃尔米特矩阵出现的典型场景给定一组向量 (v_1,\dots,v_m)定义 Gram 矩阵[ G_{ij}\langle v_j,v_i\rangle. ]按照本文的内积约定G 一定是一个埃尔米特矩阵并且是半正定的。因为对任意坐标 (c(c_1,\dots,c_m)\in\mathbb{C}^m)有[ c^H G c \left\langle \sum_{i1}^m c_iv_i,;\sum_{j1}^m c_jv_j\right\rangle \left|\sum_{i1}^m c_iv_i\right|^2\ge0. ]这个结果在很多地方都会突然冒出来比如最小二乘法、随机过程的相关矩阵、统计里的协方差矩阵。理解 Gram 矩阵的几何含义之后再看这些领域里的“半正定”结论会顺很多。反过来如果要求 Gram 矩阵正定那等价于 (v_1,\dots,v_m) 线性无关——这是一个非常漂亮的线性代数和度量结构结合的例子。5. 正规变换一切酉对角化问题的答案5.1 不是所有复矩阵都能对角化更别说酉对角化很多人在线代课的前半段学对角化时默认“矩阵都能对角化”直到遇到[ B\begin{pmatrix}11\01\end{pmatrix} ]这种 Jordan 块才发现不对。对于复数矩阵可对角化的条件本质上是有足够多的线性无关特征向量。但这还不够就算矩阵能对角化也未必能用酉矩阵把它对角化比如[ C\begin{pmatrix}11\02\end{pmatrix} ]可对角化但它的特征向量并不正交任何一组特征基都不是标准正交基所以它不是酉对角化的。于是问题来了到底什么矩阵可以用酉矩阵对角化答案就是标题里的“正规矩阵”。5.2 正规变换的定义与基本性质若线性变换 (T) 满足[ T^TTT^, ]则称 (T) 为正规变换在标准正交基下矩阵 (A) 满足[ A^H AAA^H, ]这个矩阵叫正规矩阵。符号 (T^*) 是伴随算子在标准正交基下对应的矩阵就是 (A^H)。为什么要研究正规变换因为酉变换和埃尔米特变换都是它的特例酉变换(T^*T^{-1})于是 (T^TITT^)正规埃尔米特变换(T^*T)于是 (T^TT^2TT^)正规反埃尔米特变换(T^*-T)同样满足交换条件。把这些类统一到“正规”这个词下最大的好处是它们可以共享一套对角化理论。就好比把一个定理的多个特例全打包处理了。5.3 正规变换是酉对角化的充分必要条件这是本节的核心定理复数域 (n) 维酉空间中线性变换 (T) 在某组标准正交基下的矩阵是对角阵当且仅当 (T) 是正规变换。换句话说[ A\text{ 可酉对角化}\iff A^HAAA^H. ]很多教材把这个定理叫复数谱定理它把前面酉变换、埃尔米特变换的结论全部统一到了一起。要理解为什么正规性恰好是这个条件最好从两个层面来看。先看必要性如果 (AU\Lambda U^H)其中 (\Lambda) 是对角阵(U) 是酉矩阵那么[ A^HA(U\Lambda^H U^H)(U\Lambda U^H)U\Lambda^H\Lambda U^H, ]同理会得到 (AA^HU\Lambda\Lambda^H U^H)。因为对角阵的乘法可交换(\Lambda^H\Lambda\Lambda\Lambda^H)所以 (A^HAAA^H)。这是很直观的。再看充分性这里要引出 Schur 分解。5.4 Schur 分解正规性的真正用武之地Schur 分解定理说的是任何复方阵 (A)都可以写成[ AUTU^H, ]其中 (U) 是酉矩阵(T) 是上三角矩阵。这个定理的证明用归纳法。任取 (A) 的一个单位特征向量 (e_1)把它扩充成整个空间的一组标准正交基。在这组基下(A) 的矩阵形式是第一列为 ((\lambda,0,\dots,0)^T) 的分块上三角矩阵[ \begin{pmatrix} \lambda *\ 0 A_1 \end{pmatrix}. ]然后对右下角的 (A_1) 继续做同样的操作归纳到底就得到了完整的上三角分解。这个思路不需要任何除了“复矩阵有特征向量”之外的额外假设所以它比对角化普适得多。接下来是关键的一步如果 (A) 是正规矩阵那么上面分解出的上三角矩阵 (T) 也正规。这一点由直接计算 (T^HT) 与 (TT^H) 并利用 (A^HAAA^H) 和 (U) 的酉性可以验证。那“上三角矩阵 正规”能推出什么答案是这个上三角矩阵必须是对角阵。理由是比较 (T^HT) 和 (TT^H) 的第 ((1,1)) 个元素。因为 (T) 上三角(T^HT) 的 ((1,1)) 位置只有 (|t_{11}|^2)而 (TT^H) 的 ((1,1)) 位置却是 (\sum_j|t_{1j}|^2)。两者相等意味着第一行第 (2) 到第 (n) 个位置全部是0。然后把这个结论用到右下角的子块上递推完成整行整列逐步变成0最终 (T) 就是对角阵。这一步是很多教材写得很简略、但学生最容易卡壳的地方。建议自己动手把 ((1,1)) 位置写一遍体会一下为什么恰好是“第一行”被干掉而不是第一列。想清楚之后你会觉得谱定理完全是水到渠成。5.5 谱定理的完整表述综合上面正规变换的谱定理可以写成下面几种等价形式(T) 是正规变换(T) 可酉对角化即存在标准正交基使 (T) 的矩阵为对角阵(T) 有 (n) 个两两正交的单位特征向量在标准正交基下(T) 的矩阵满足 (A^HAAA^H)。其中第2条是最常用的形式。而埃尔米特矩阵的特征值全实且可酉对角化就是谱定理的特例酉矩阵特征值在单位圆上且可酉对角化也是谱定理的特例。掌握了正规变换这个一般框架回头看前面那些“个例”的证明会感觉它们只是同一个定理的不同侧面。6. 习题里的常见场景与判定技巧6.1 三步判断一个矩阵能否酉对角化判断复矩阵能否酉对角化标准流程非常简单写出 (A^H)计算 (A^HA) 和 (AA^H)如果两个矩阵相等则 (A) 正规因而可以酉对角化否则不可以。举一个完整的例子。设[ A\begin{pmatrix}1\mathrm{i}\\mathrm{i}1\end{pmatrix}. ]先算[ A^H\begin{pmatrix}1-\mathrm{i}\-\mathrm{i}1\end{pmatrix}. ]然后[ A^HA \begin{pmatrix}1-\mathrm{i}\-\mathrm{i}1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\mathrm{i}\\mathrm{i}1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}20\02\end{pmatrix}, ][ AA^H \begin{pmatrix}1\mathrm{i}\\mathrm{i}1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1-\mathrm{i}\-\mathrm{i}1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}20\02\end{pmatrix}. ]两者相等所以 (A) 正规可以酉对角化。事实上它还是埃尔米特矩阵特征值必然是实数这里就能猜到它的特征值是 (1\pm12) 和 (1-10) 这类实数具体值读者可以自己求一下验算后印象更深。再换一个例子感受反例[ D\begin{pmatrix}11\02\end{pmatrix}. ](D^HD) 和 (DD^H) 不相等这个矩阵虽然能对角化但不能酉对角化。考试里很喜欢拿这种带单位上三角块的矩阵来设陷阱。6.2 抽象变换题把“是否酉变换”化成矩阵检验如果题目给的是一个抽象线性变换 (T)而不是具体矩阵第一步永远是选一组标准正交基写出 (T) 在该基下的矩阵 (A)然后把问题转化为矩阵问题。判断 (T) 是否酉变换就看 (A^HA) 是否等于 (I)判断 (T) 是否埃尔米特变换就看 (A^H) 是否等于 (A)判断 (T) 是否正规变换就看 (A^HA) 是否等于 (AA^H)求 (T) 是否可酉对角化判断结果同第三条。这里特别强调一点题目给的标准正交基往往已经“摆好”了比如 (\mathbb{C}^3) 的默认标准基就是标准正交基。但如果题目给出的是非标准正交的基就一定要先做正交化或者用度量矩阵来换算不能直接把基下的矩阵拿来做 (A^H A) 检验。这是每年考试都会出现的低级错误。6.3 证明题的一个万能套路特征向量与正交补证明题里最常出现的一类套路是已知某个子空间是 (T)-不变子空间求证它的正交补也是 (T)-不变子空间。这个结论对一般的线性变换是不成立的但对正规变换成立。证明可以按下面思路写先说明正规变换的特征向量同时是伴随算子 (T^) 的特征向量属于共轭特征值 (\overline{\lambda})。这个事实可以由前面的正规性推出。于是任何由若干特征向量张成的子空间 (W)都同时是 (T) 和 (T^) 的不变子空间。然后对 (y\in W^\perp)要证 (Ty\in W^\perp)。任取 (x\in W)有[ \langle x,Ty\rangle\langle T^*x,y\rangle. ]因为 (T^*x\in W)而 (y\in W^\perp)所以右边等于0。于是 (\langle x,Ty\rangle0) 对一切 (x\in W) 成立即 (Ty\in W^\perp)。这个论证是酉空间内容里最高频的证明模板值得背下来。7. 常见错误、易混淆点与复习建议7.1 五个容易踩的坑易错操作正确姿势把 (\langle x,y\rangle) 的共轭当普通对称算到一半符号全乱每次交换顺序就多一个共轭(\langle x,y\rangle\overline{\langle y,x\rangle})复数域二次型直接写 (x^T A x)应该写 (x^H A x)保证结果是实数认为所有复矩阵都能对角化只有可对角化条件满足才可以正规性是酉对角化的充要条件把酉变换特征值记成只能是 (\pm1)任何模为1的复数都可以是酉变换的特征值把埃尔米特矩阵和实对称矩阵完全等同埃尔米特矩阵允许复非对角元且对角线必须实7.2 实与复的对照速查表概念实欧氏空间复酉空间保持度量的变换正交变换酉变换对称变换对称变换埃尔米特变换矩阵条件(A^T AI)(A^H AI)对称矩阵条件(A^TA)(A^HA)转置(A^T)(A^H\overline{A^T})特征值性质对称阵特征值实埃尔米特阵特征值实可对角化实对称可正交对角化正规矩阵可酉对角化这个表很重要几乎所有复习资料都会给但我还是建议你亲手把表里每一行推一遍。别人的表格是别人的记忆你自己推出来的才是自己的。7.3 复习顺序建议如果时间紧张不要按目录从前往后啃按依赖关系来先把酉空间定义和 Gram-Schmidt 正交化练熟这是所有计算的基础再掌握伴随算子 (T^*) 的定义和基本性质因为酉变换、埃尔米特变换、正规变换的定义都依赖它然后理解酉变换和埃尔米特变换重点看它们的特征值结构最后统一到正规变换和谱定理把 Schur 分解的证明思路完整过一遍。我自己的体会是这一节学到最后真正的收获不是会做几道题而是建立起一个观念复数的引入不是把线性代数变复杂而是把特征理论变完整。一旦接受了共轭和复内积那些在实数域里“有但是不完美”的结构——旋转的特征值、二次型的正定性、矩阵的对角化——全都在酉空间的框架下变得干脆利落。最后再分享一个我复习时用过的小技巧把欧氏空间那一章所有公式里的“转置”改成“共轭转置”“对称”改成“共轭对称”“正交变换”改成“酉变换”80%的结论可以直接平移过来。但请一定注意这只是帮你记结构真正动笔计算时每一步展开都要老老实实回到定义把共轭符号写清楚。踩过几次“我以为符号在这边结果在那边”的坑之后你就会明白酉空间的直觉可以靠类比但分数永远靠细节。
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