半群、子群、商群：判定顺序、正规性与反例库

半群、子群、商群这三个词第一次是挤在同一页教材上出现的。定义各占三行加起来的篇幅还不到半页但那半页我前后翻了不下十遍——不是因为字不认识而是合上书之后说不上来它们之间到底是怎么接上的。半群为什么要单独拎出来讲明明后面只研究群子群的判定条件为什么能从四条砍到一条商群为什么非要那个正规的前置条件不正规会死在哪一步教材把这些都写成了定理和命题却很少写清楚每一步的动机。真正把这三个概念焊在一起的不是定义是验证顺序和反例库。抽象代数这门课的特点是看懂定义不等于会做题会做题不等于知道为什么。比如给一个子集让你判断是不是子群四条定义摆在那里逐条验也能做但如果知道非空 对乘法与取逆封闭甚至有限非空 对乘法封闭就够了手速和准确率会完全不一样。再比如商群很多人能背出正规子群才能作商群但让他指出来如果子群不正规陪集乘法会在哪一步崩掉就说不清了。这篇想做的就是把这些断点接起来半群是观察结合律这条底线能撑起多少结构子群是把视野收窄到一个封闭的小世界商群是把大世界按某种等价关系折叠。三个动作一条线。内容偏原理梳理加手算训练适合正在学抽象代数、被定义绕晕的人也适合学过一遍但只记得名词的人。中间会给出可运行的枚举代码、两个完整的推演案例、一份高频错误对照表以及我自己踩过的几个坑。数学基础只需要知道什么是集合、映射和运算其余都在文中补。1. 三个词放在一起时才看得出的那条主线1.1 定义背得再熟也解决不了该验哪一条我见过太多人复习抽象代数的方式是把定义抄一遍半群是带结合律的封闭二元运算结构子群是群的非空子集且在同样运算下成群商群是正规子群的所有陪集在陪集乘法下构成的群。这三句话本身没有错但它们回答的是是什么而不是拿到一道题该先动哪里。真正决定做题速度和正确率的是判定路径。判断一个集合是不是半群你只需要验两件事运算有没有跑出集合三个元素换着顺序结合结果变不变。判断一个子集是不是子群教材上往往写四条实际上熟练之后是两件事非空以及任意两个元素做一次乘法加求逆的复合仍在集合内。判断一个陪集集合能不能构成商群你需要验的只有一件这个子群在共轭作用下是否稳定。这三条路径的长度差别很大而教材把它们平铺在定义里读起来是一样长的。这就是为什么很多人定义都懂题做不出——脑子里没有优先级。我建议的记法是把每个概念压缩成一个最少需要验什么的动作指令定义只作为推导来源不作为操作手册。1.2 一条收紧的轴和一条折叠的轴把三个概念画在一个平面上会发现它们沿着两个完全不同的方向在动。第一个方向是收紧。从集合到半群加的是封闭性和结合律从半群到幺半群加的是单位元从幺半群到群加的是每个元素都有逆元。这是一条逐级加码的轴越往右结构越强能用的工具越多但符合要求的对象越少。你手上的东西如果只是一堆字符串连接它就是幺半群别硬套群的定理因为字符串没有逆元——abc乘什么都没法变回空串。第二个方向是折叠。已经有一个群了子群是在群内部划出一块自洽的小区域商群则是把整块区域按某种方式压成一个点。前者是往内看后者是往外压。这两个动作不是同一条轴上的前后关系而是正交的两种操作子群回答哪些元素能被圈出来自己玩商群回答哪些元素可以被看作同一个。理解这一点之后很多困惑会自动消解比如为什么每个群都有子群但不是每个子群都能作商群——因为圈出来容易能压成点难。1.3 我的三个反例本学这门课我最大的收获不是记住了多少定理而是攒了一小本反例。正例让你知道定义能被满足反例让你知道定义的每一条都不是白写的。我的本子上长期保留三个整数在减法下不构成半群因为 (3-2)-10 而 3-(2-1)2。这个例子专治结合律是废话的错觉。三元置换群里由一个对换生成的二阶子群不是正规子群。这个例子专治子群都能作商群的错觉而且它是能完整手算出来的最小反例非常宝贵。自然数在加法下是幺半群去掉 0 之后仍是半群但没了单位元。这个例子专治半群和群差不多的错觉因为幂、同态、同余这些概念在没有单位元的情况下要重新处理很多证明里乘以单位元那一步会直接失效。反例的价值在于当你写证明卡住时往往是因为某个条件没被用上。把反例拿出来对照能立刻定位到哦我用了正规性但题里只给了子群。2. 半群把结合律单独拎出来是在防什么2.1 封闭性这道门槛比想象中高先说封闭。给定集合 S 和 S×S 到 S 的映射封闭性说的是运算的结果不会掉出 S。听起来是最容易满足的一条实际上是最容易出错的一条因为它依赖你对集合的界定。正奇数在加法下不封闭两个正奇数相加是偶数。自然数在减法下不封闭1-2 已经跑出去了。如果把全体 2×2 实矩阵拿来配乘法封闭是天然满足的但如果你限定所有三阶以内可对角化矩阵很快就会撞上两个可对角化矩阵乘积不可对角化的例子。所以在写这个集合在运算下封闭吗之前第一件事是把集合的边界说死是所有元素、还是满足某条件的元素、还是某个区间。封闭性一旦不成立后面所有讨论都没有意义因为运算本身已经是个部分函数。这也是为什么在形式语言里字母表上所有有限串的集合配连接运算一定封闭——连接两个有限串当然还是有限串这个封闭性是定义直接保证的不需要额外验证。2.2 结合律失效的四个常见现场结合律说 (ab)c a(bc)也就是括号可以随便打。它失效的时候通常不是因为运算太怪而是因为这个运算本身就不打算让你重新结合。最常见的是减法这类非交换且带方向差异的运算整数减法和实数除法都是反例。第二个现场是向量叉积它满足的是雅可比恒等式而不是结合律所以只能构成李代数不是半群。第三个现场是函数复合的反向写法如果你把 f∘g 定义成先 f 后 g 而不是先 g 后 f某些公式会看起来不满足结合律其实那是记号约定问题而不是结构问题这一点特别容易在自学时误会自己。第四个现场是浮点数的加法严格数值意义上它不满足结合律因为舍入误差的累积顺序不同结果会差一点点——这也是半群概念在数值计算里必须被松弛处理的原因。值得强调的是八元数那种典型反例它甚至不满足交换律也不满足结合律但满足一个叫交错律的弱化条件。看到这类结构的存在你才会明白为什么数学家要把结合律单独摘出来当成公理而不是把它当成理所当然——因为它真的可以被去掉去掉之后还能长出其他理论。2.3 少了单位元和逆元还剩多少东西能用这是半群这一章最关键的问题。很多人觉得半群只是群的残缺版价值不大其实恰恰相反半群理论保留了群论里最实用的那一批工具只是形式要调整。首先可以用的是幂。有了结合律a²a·a、a³a·a·a 都是有定义的而且 a^m·a^n a^{mn}、a^{mn}(a^m)^n 照样成立。没有单位元时 a^0 不好定义但只要把所有讨论限定在正整数幂上一切照旧。这一步保证了元素的阶这个概念在有限半群里也能讨论。其次可以用的是同态。半群同态 φ: S→T 的定义就是保持运算φ(ab)φ(a)φ(b)这个定义完全不依赖单位元和逆元。有了同态像和核这里指等价关系的核不是群的核就有意义。最有价值的是子半群和同余关系。子半群的定义就是子集对运算封闭不需要非空之外的任何附加条件——注意这里是封闭即可因为结合律在子集上自动继承。同余关系是半群版的正规子群下一节第 5 部分会详细展开。反过来半群失去的东西也很明确你没法解方程 axb因为不能乘 a 的逆你没法用乘以单位元这种技巧在证明里做缓冲你没法定义左陪集右陪集因为陪集需要群运算把整个集合平移过去。记住这个有和没有的清单遇到具体问题时能立刻判断该用哪套工具。2.4 把二元运算全枚举一遍半群到底稀不稀有教科书上的例子都是精选过的容易让人产生错觉以为随便写个运算就大概率是半群。用代码把所有可能都枚举一遍直观感受会完全不同。from itertools import product def is_associative(op, n): # op 用 n×n 的表表示op[a][b] 是 a*b 的结果 for a, b, c in product(range(n), repeat3): if op[op[a][b]][c] ! op[a][op[b][c]]: return False return True def has_identity(op, n): for e in range(n): if all(op[e][x] x and op[x][e] x for x in range(n)): return e return None for n in (2, 3): total n ** (n * n) semi 0 mono 0 for flat in product(range(n), repeatn * n): op [list(flat[i*n:(i1)*n]) for i in range(n)] if is_associative(op, n): semi 1 if has_identity(op, n) is not None: mono 1 print(fn{n} 全部运算 {total} 个半群 {semi} 个幺半群 {mono} 个)二元集上共 16 种运算其中满足结合律的只有 8 个这 8 个里有 4 个带单位元。三元集上共 19683 种运算满足结合律的只有 113 个其中幺半群 7 个。也就是说随手扔一个运算表出来它几乎肯定不是半群比例大概是 0.6%。这个比例带来的方法论启示是判断一个结构是不是半群不要凭直觉要老老实实检查结合律。而检查的优先级应该是先看有没有现成的定理能借用比如已知某类函数复合必结合再看有没有明显的反例可构造最后才逐三元组暴力验证。手算时优先试那些看起来会出问题的组合比如含吸收元的情形、含幂等元的情形往往一击命中。3. 子群判定从四条条件砍到一条的逻辑和有限群的捷径陷阱3.1 三条验证与一条验证的等价性推导子群的标准定义要求 H 是 G 的非空子集并且在 G 的运算下自身成群。拆开就是非空、对乘法封闭、有单位元、每个元素有逆元。但在实际验证时我们几乎从不这样逐条查原因在于后两条是可以被推导出来的而推导过程中藏着一个很妙的技巧。标准判定是H 非空且对任意 a、b 属于 H都有 ab⁻¹ 属于 H。这一条同时打包了封闭性和取逆。思路是这样的先取 ab得到 aa⁻¹e 属于 H单位元有了再取 ae得到 b⁻¹ 属于 H逆元有了最后对 a、b⁻¹ 用一次条件得到 a(b⁻¹)⁻¹ab 属于 H封闭性有了。一次验证换四条结论。这个推导里最容易被忽略的是非空这一步。如果 H 是空集它确实满足任意 a、b 属于 H 时 ab⁻¹ 属于 H这个命题因为前提永远为假逻辑上命题为真。但空集不是子群因为它没有单位元也不满足群的公理。所以非空必须单独说不能省。还有一个常见变体是两条式判定H 非空、对乘法封闭、对取逆封闭。它和一条式完全等价只是把取逆和乘法拆开了读起来更符合直觉验证时也更适合分步检查。我在手算时更喜欢这个版本因为它出错时能立刻知道是封闭性出问题还是逆元出问题。3.2 有限且封闭就是子群为什么不能推广有一个特别好用的结论如果 G 是有限群H 是 G 的非空子集且 H 对 G 的乘法封闭那么 H 一定是子群。这条结论把验证成本又砍掉一半因为不用查逆元了。证明的关键是元素的有限阶。取 a 属于 H考虑 a, a², a³, ... 这个序列因为 H 有限序列必有重复于是存在 ij 使 a^ia^j两边消去得到 a^{j-i}e所以 e 属于 H且 a 的逆就是 a^{j-i-1}也在 H 里。注意这个证明里消去这一步用到了群的消去律而消去律来自逆元存在——所以整个论证是在 G 里进行的H 只是被验证的对象。这里有个高频错误把这条结论的记忆方式记成了封闭就是子群然后套到无限群上。整数加法群里全体非负整数对加法封闭包含单位元 0但不是子群因为 3 的逆 -3 不在里面。正整数集合更明显连单位元都没有。所以这条捷径必须和G 有限这个前提绑死分开记就等于记错。另一个容易出问题的地方是非空依然不能省。空集对乘法封闭但它显然不是子群。我在批改作业时见过不止一次判断某个用条件定义的集合是不是子群作者直接写显然非空结果那个条件在该群中根本无解。3.3 陪集是等价类划分与计数结论的来历子群最有价值的副产品是陪集。给定 H≤G 和 g∈G左陪集 gH 就是所有 gh 的集合。这个定义本身很朴素但它背后是一个等价关系定义 a~b 当且仅当 a⁻¹b∈H直接可以验证这满足自反、对称、传递。等价关系立刻带来三个结论这三个结论是整个子群理论的骨架。第一任意两个左陪集要么完全相同要么完全不相交因为它们就是等价类等价类天然是划分。第二所有左陪集的并集是整个 G因为每个元素都属于自己的陪集。第三每个陪集的元素个数都等于 H 的元素个数因为映射 h↦gh 是双射它的逆是 x↦g⁻¹x。三条合起来就是陪集计数结论|G| 等于 |H| 乘以陪集个数。这个结论最强的地方在于它是纯计数的不依赖于群是否交换、元素是什么。手算的时候它是一把好用的尺子如果你算出某个群的一个子群阶数是 3而群阶数是 10那不用往下算这个子群一定不存在因为 3 不整除 10。反过来子群的阶一定要整除群的阶这是最快的第一道筛选。同样要提醒的是这个结论反过来不成立阶整除不保证子群存在。四元交错群是阶 12 的群但它没有 6 阶子群虽然 6 整除 12。所以整除只是必要条件不是充分条件做题时它能帮你排除不能帮你确认。3.4 生成子群的手算流程实际题目里子群很少直接给你多数是给你几个元素让你求它们生成的子群。这时需要一套稳定的手算流程否则很容易漏元素。第一步从单位元开始把生成元放进去把它们的逆也放进去。第二步对集合里已有的元素两两做乘法把新得到的元素加进来。第三步重复第二步直到集合不再增长。因为生成子群是包含这些元素的最小子群而最小的意思就是包含这些元素且对所有运算封闭所以这个闭包过程一定会终止在正确的答案上。手算时的加速技巧是优先用生成元的幂。如果只有一个生成元 a那么 就是 {e, a, a², ...}一直乘到回到 e 为止元素个数就是 a 的阶。两个生成元时可以先把各自的循环群写出来再轮流左乘右乘用表格记录避免漏。三元置换群里(1 2), (1 2 3) 生成整个群这个过程可以完整手推一遍作为练习推完之后对生成这个词的理解会完全不同。一个实用的检查手段是阶数核对生成子群的阶必须整除群的阶而且必须被每个生成元的阶整除。如果你算出的集合大小违反这两条说明算错了回去查是不是漏了逆元或者重复计数。4. 商群正规性不是审美要求是乘法能不能落地的问题4.1 商群想干的事把一组元素压缩成一个点商群的动机值得反复咀嚼。给一个群 G 和一个子群 H我们想把所有左陪集当成新的元素在这个新集合上定义一个乘法让原来的群运算降下来。如果成功得到的新群就是 G 对 H 的商群记作 G/H。这个想法非常自然因为它就是把平移一个 H当成一个整体。比如在模 12 的加法群里取 H{0,4,8}那么每个陪集就是模 4 同余类的概念商群自然是模 4 的加法群。在几何上如果把整数格点看作可平移的单元商就是把整个平面按格子压缩成一个环面。压缩之后原本相距一个格点的两个点变成了同一个点。但想压缩和真的能压缩是两回事。压缩要求新集合上定义的那个乘法是良定义的如果你从陪集 A 里挑 a₁从陪集 B 里挑 b₁算出 a₁b₁ 落在某个陪集换一对代表元 a₂、b₂得到的结果必须落在同一个陪集。如果不同代表元给出不同的结果那这个乘法根本没有定义好商群就无从谈起。4.2 三元置换群上的良定义崩塌现场最好的例子是最小的非交换群也就是三个元素上的全体置换构成的群记作 S₃它有 6 个元素恒等、三个对换、两个三轮换。取 H 为由对换 (1 2) 生成的二阶子群也就是 {恒等, (1 2)}。先算左陪集。(1 3) 乘 H 得到 {(1 3), (1 3)(1 2)}按从右往左复合算出 (1 3)(1 2)(1 2 3)所以这个陪集是 {(1 3), (1 2 3)}。再用 (2 3) 乘以 H得 {(2 3), (2 3)(1 2)} {(2 3), (1 3 2)}。再加上 H 本身三个左陪集把整个群分完了数量是 6/23符合计数。现在试试陪集乘法。取两个都等于 {(1 3), (1 2 3)} 的陪集按代表元相乘来算。第一对代表元取 (1 3) 和 (1 3)乘积是恒等落在 H 这个陪集里。第二对代表元取 (1 3) 和 (1 2 3)乘积 (1 3)(1 2 3) 算出来是 (2 3)落在 {(2 3), (1 3 2)} 这个陪集里。同一个陪集乘自己两种算法给出两个不同的结果乘法彻底崩溃。崩溃的根源在于 H 不是正规子群。左陪集和右陪集不一致具体到 (1 3) 这个元素它的左陪集是 {(1 3), (1 2 3)}右陪集 H(1 3) {(1 3), (1 3 2)}两者不同。这意味着从左边平移一个 H和从右边平移一个 H看到的划分是两套不同的划分你无法保证 a₁b₁ 和 a₂b₂ 落在同一块。4.3 正规子群的五种等价说法怎么互相推正规子群的定义是对任意 g∈G 和 n∈N都有 gng⁻¹∈N。这个n 被 g 共轭之后还在 N 里的条件看起来只是一条技术性要求实际上它有五种互相等价的表达方式分别对应不同的使用场景。第一种就是上面的共轭形式。第二种是把包含换成相等gNg⁻¹N因为 g 和 g⁻¹ 对称包含一个方向自动给出另一个方向。第三种是陪集交换gNNg 对任意 g 成立这条在算题时最好用因为它直接告诉你左陪集就是右陪集。第四种是 N 等于某个同态的核这条在构造商群时最好用。第五种是 N 对共轭类闭合也就是 N 是若干整个共轭类的并集这条在判断时最好用——只要发现 N 里有某个元素但它的共轭类里有个元素不在 N 里立刻可以判定不正规。五条之间的推导其实都不长但方向要清楚。从共轭包含推陪集交换取 gn则 gng⁻¹∈N所以 gn(gng⁻¹)g∈Ng一个方向成立反向同理。从陪集交换推核如果 N 是某个同态 φ 的核那么 φ(gng⁻¹)φ(g)φ(n)φ(g)⁻¹φ(g)eφ(g)⁻¹e所以 gng⁻¹ 也在核里。从共轭类闭推共轭包含是直接的。把这五条在纸上互相推一遍比背五句话有用得多。阿贝尔群是最省事的情况因为所有元素可交换gng⁻¹n所以每个子群都正规每个子群都能作商群。这也是为什么初学者容易产生正规性自动成立的错觉——入门例子全是交换群。等第一次撞上非交换群问题才暴露。4.4 核为什么天然正规同态的核自动是正规子群这件事在结构上非常漂亮而且它解释了商群真正的来源。设 φ: G→G 是同态核 K 是所有被映到单位元的元素。取 k∈K则 φ(gkg⁻¹)φ(g)φ(k)φ(g)⁻¹φ(g)eφ(g)⁻¹e所以 gkg⁻¹∈K正规性直接成立。整个推导只用了同态保持运算这一条性质没有任何额外假设。这带来一个重要的视角转换商群不是随便找个正规子群作除法而是把同态看不见的信息扔掉。核就是被吞掉的部分商群 G/K 就是同态的像的结构复制品这个对应关系通常被概括为同态基本定理。理解了这个很多构造就变得自然想知道某个同态到底丢了多少信息看核多大想知道商群长什么样看像长什么样。实际计算时这条定理是一把万能钥匙。手上有群同态先算核核一出来商群的结构基本就确定了比自己硬凑陪集乘法表快得多。模 12 加法群到模 3 加法群的映射核是 {0,3,6,9}像就是模 3所以商群是模 3 群全程不需要枚举陪集。5. 半群没有正规子群这个概念但它有同余关系5.1 同余关系半群的商的正确入口第一次意识到半群上没有正规子群这个说法时我困惑了很久既然商群这么有用半群为什么不能照抄答案藏在良定义的条件里。群的陪集乘法要良定义需要 a₁a n₁、b₁b n₂ 这样的代表元换算而换算过程中出现了把 n₁ 从中间挪到后面的动作这依赖共轭也就是依赖逆元。半群没有逆元这套换算做不了所以用子半群作商这条路走不通。半群的正确入口是等价关系而非子集。定义一个等价关系 ~如果它满足a~b 且 c~d 蕴含着 ac~bd就叫它同余关系。这个条件正是良定义所需要的等价类的乘法 (a 的类)·(c 的类) 定义为 ac 的类只要换代表元不影响结果商半群 S/~ 就成立。用自然数加法半群举例按模 5 同余做等价关系任意两组同余的元素相加之后仍然同余商半群就是五个元素的循环结构。用字符串连接半群举例按长度相同做等价关系连接两个同长度串的长度等于长度之和商半群同构于自然数加法半群。这些例子说明同余关系是半群理论里最自然、最通用的商构造方式。5.2 为什么群可以退化成一个子群说了算那为什么群里不用等价关系这套说法反而绕道去讲正规子群原因是群里的同余关系有一个非常强的性质它完全由单位元所在的等价类决定。在群里如果 ~ 是同余关系设 N 是单位元 e 所在的等价类。那么 a~b 当且仅当 ab⁻¹~e也就是 ab⁻¹∈N。所以整个等价关系被 N 一个集合完全刻画了。再结合同余条件可以推出 N 必须是正规子群。反过来每个正规子群也诱导一个同余关系。这就解释了两套语言的关系群用正规子群讲商是因为同余关系在群里没有额外自由度一个子集就够描述全部半群用同余关系讲商是因为半群里 e 可能不存在等价类也没法用乘一个固定元素的方式还原出来所以只能直接讲关系。我个人的理解是正规子群是群的特权同余关系才是普适的语言。学群的时候用陪集效率高学半群的时候用同余不出错。两者不是矛盾的是同一件事在不同结构强度下的表现。5.3 两类商的对照表把两套商构造并排放在一起看差异会非常清楚。对比项群对正规子群的商半群对同余关系的商商的对象正规子群 N同余关系 ~元素形式陪集 gN等价类 [a]良定义依赖共轭稳定 gNg⁻¹N同余条件 a~b,c~d⇒ac~bd单位元的角色决定整个等价关系可能不存在典型例子模 12 群对 {0,4,8} 作商字符串半群按长度分类首选验证手段检查共轭类是否闭合检查关系是否与运算相容这张表我建议贴在笔记最前面。它能挡住两类经典错误一是拿半群去硬套群的正规子群定义二是拿群去做商却忘了验证正规性。两种错误的表现形式不同但本质上都是把商当成了一个不需要条件的动作。6. 一条完整的推演链和一份错误对照清单6.1 从模 12 加法群一路推到商群把前面所有概念串起来最省事的载体是模 12 的加法群记作 Z₁₂元素是 0 到 11运算是模 12 相加。它是交换群所以每个子群都正规省去了正规性验证的麻烦正好用来练推演流程。第一步找一个子群。取 4 生成的子群也就是 {0,4,8}记作 H。验证过程非空显然0 在里面对加法封闭448840都在里面对取逆封闭因为每个元素的逆就是 12 减去自身模 124 的逆是 88 的逆是 40 的逆是 0都在里面。三条验完H 是子群阶为 3。第二步算陪集。0H{0,4,8}1H{1,5,9}2H{2,6,10}3H{3,7,11}四个陪集把 12 个元素正好分完。用计数结论核对12/34一致。第三步验证陪集乘法能不能落地。取代表元 1 和 2乘积是 3落在 3H换一对代表元 5 和 6乘积是 11也在 3H 里。因为 Z₁₂ 是交换群H 自动正规这一步在理论上必然通过但手算一两个例子能加深印象。第四步写出商群。四个陪集分别是 0H、1H、2H、3H做一个自然的命名映射把 iH 对应到 i商群就是模 4 的加法群阶为 4。第五步用同态交叉验证。定义 φ: Z₁₂→Z₄把 x 映到 x mod 4。验证它是同态φ(ab)(ab) mod 4(a mod 4 b mod 4) mod 4。它的核是所有被映到 0 的元素也就是 {0,4,8}正好是 H。根据同态基本定理Z₁₂/H 同构于像像就是整个 Z₄结论一致。整个流程走下来五个步骤各自对应一个概念找子群用判定定理算陪集用等价类划分验乘法用正规性写商群用陪集集合交叉验证用同态基本定理。这就是把三个概念串成一条线的样子。我建议每个人都至少手推三个不同规模的例子一个交换群、一个非交换群、一个非正规子群的反例推完这三遍理论框架就稳了。在非交换的情况下推演要更小心。以三阶对称群为例取它的三轮换构成的子群阶为 3指数为 2。先验正规性因为指数为 2 的子群必正规这个结论也很好用指数为 2 意味着只有两个陪集左陪集和右陪集数量都等于 2而左陪集划分和右陪集划分必然重合。再算陪集得到两块商群阶为 2同构于二阶循环群。反过来取对换生成的二阶子群在前面已经演示过陪集乘法会崩所以它不能作商。两个例子放在一起正反两面都齐了。6.2 六种高频错误下面这份清单是我自己踩过、也在别人作业里反复见到的几乎覆盖了这章百分之九十的失分点。错误表现出错原因正确做法验证子群时跳过非空认为显然有元素先证至少有一个元素通常找单位元在无限群里用封闭即子群把有限群的捷径当通例必须额外验逆元或直接验 ab⁻¹用阶整除判定子群存在把必要条件当充分条件整除只能排除不能确认证明商群时假定子群正规入门例子都是交换群非交换群必须单独验共轭稳定陪集乘法取代表元随意没意识到良定义需要证明换代表元必须验证结果同陪集半群里套用正规子群混淆两种商的语言半群用同余关系检查运算相容第六行值得展开一句。半群里讨论正规子半群这个词本身没有统一意义因为半群没有共轭这个动作没有逆元就没法做 gng⁻¹。所以看到半群题目里出现作商第一反应应该是找等价关系而不是找特殊的子集。6.3 手算训练的顺序建议最后说训练方法。这门课光看不练完全不行但练也要讲顺序否则容易在细节上反复卡壳。第一个阶段只练判定不练构造。给你一堆集合和运算只回答是不是半群、幺半群、群每个都写出验证过程特别是反例要写清楚违反的是哪一条。这个阶段的目标是把条件记忆变成条件反射看到逆元就想起来要检查。第二个阶段练子群。给几个具体的有限群比如模 n 加法群、三阶对称群、四阶对称群把所有子群列全。列全的标准是阶数从 1 开始逐个检查用整除先筛掉不可能存在的阶再用生成元构造。这个过程很枯燥但做完之后对群的结构会有肌肉记忆。第三个阶段练商群。在第二阶段列出的子群里挑出正规的那些算出商群的结构再用同态去交叉验证。非交换群的例子一定要做三阶对称群的正规子群只有三个平凡子群、整个