题目实数域上与给定矩阵合同的矩阵判定

题目实数域上与给定矩阵合同的矩阵判定设A(1221) A\begin{pmatrix} 1 2 \\ 2 1 \end{pmatrix}A(12​21​)则在实数域上与AAA合同的矩阵为 (A)(−211−2)\begin{pmatrix}-2 1 \\ 1 -2\end{pmatrix}(−21​1−2​)(B)(2−1−12)\begin{pmatrix}2 -1 \\ -1 2\end{pmatrix}(2−1​−12​)©(2112)\begin{pmatrix}2 1 \\ 1 2\end{pmatrix}(21​12​)(D)(1−2−21)\begin{pmatrix}1 -2 \\ -2 1\end{pmatrix}(1−2​−21​)前置知识点结论1实对称矩阵实数域合同充要条件正惯性指数、负惯性指数分别相等正负特征值个数一样。结论2二阶实对称矩阵不用求全部特征值直接算行列式迹快速判断正负特征值数量迹trλ1λ2\mathrm{tr} \lambda_1\lambda_2trλ1​λ2​主对角线之和行列式∣A∣λ1λ2|A|\lambda_1\lambda_2∣A∣λ1​λ2​如果行列式000两个特征值一正一负正惯性指数p1p1p1负惯性指数q1q1q1。惯性定理实对称矩阵合同⟺ \iff⟺正负惯性指数完全相同。步骤1计算矩阵A的迹、行列式A(1221) A\begin{pmatrix}1 2 \\2 1\end{pmatrix}A(12​21​)迹tr(A)112\mathrm{tr}(A)112tr(A)112行列式∣A∣1×1−2×21−4−30|A|1\times 1 - 2\times 2 1-4-30∣A∣1×1−2×21−4−30λ1λ22, λ1λ2−3\lambda_1\lambda_22,\ \lambda_1\lambda_2-3λ1​λ2​2,λ1​λ2​−3说明一个正特征值一个负特征值p1,q1p1,q1p1,q1。我们要找选项里面同样满足行列式000的矩阵。步骤2逐个算选项行列式(A)(−211−2), ∣AA∣4−130\begin{pmatrix}-2 1 \\ 1 -2\end{pmatrix},\ |A_A|4-130(−21​1−2​),∣AA​∣4−130两正或者两负排除(B)(2−1−12), ∣AB∣4−130\begin{pmatrix}2 -1 \\ -1 2\end{pmatrix},\ |A_B|4-130(2−1​−12​),∣AB​∣4−130排除©(2112), ∣AC∣4−130\begin{pmatrix}2 1 \\ 1 2\end{pmatrix},\ |A_C|4-130(21​12​),∣AC​∣4−130排除(D)(1−2−21), ∣AD∣1−4−30\begin{pmatrix}1 -2 \\ -2 1\end{pmatrix},\ |A_D|1-4-30(1−2​−21​),∣AD​∣1−4−30一正一负p1,q1p1,q1p1,q1✅ 答案D补充验证可选D矩阵(1−2−21)\begin{pmatrix}1 -2 \\-2 1\end{pmatrix}(1−2​−21​)迹也是222行列式−3-3−3特征值分布和A完全一样惯性指数一致实数域合同。总结速记结论1实数域实对称矩阵合同看惯性指数结论2二阶矩阵最简单判别法算行列式∣M∣0|M|0∣M∣0等价于一正一负结论3相似一定合同合同不一定相似本题只要求合同不需要特征值相等只需要正负个数相同。易错提醒不要把合同和相似搞混相似要求特征值完全相等合同只要求正负数量一样只有实对称矩阵才用这个惯性指数判定非对称矩阵不能这么判断主对角线数字调换、交叉项符号改变只要行列式符号不变惯性指数可以不变。